Question

如图，在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC＝2AB，延长AB至G，使BG＝AB，连接GO交BC于E，延长GO交AD于F，连接AE．

求证：（1）△ABC≌△AOG；

（2）猜测四边形AECF的形状并证明你的猜想．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形AECF是菱形；理由见解析

【解析】

（1）由已知条件得出AB＝AO，AC＝AG，由SAS证明△ABC≌△AOG即可；

（2）由矩形的性质得出∠ABC＝90°，AD∥BC，得出∠OAF＝∠OCE，由ASA证明△AOF≌△COE，得出OF＝OE，得出四边形AECF是平行四边形，再由全等三角形的对应角相等得出∠AOG＝∠ABC＝90°，即可得出结论．

（1）证明：∵点O是AC的中点，

∴AO＝CO＝AC，

∵AC＝2AB，BG＝AB，

∴AB＝AO，AC＝AG，

在△ABC和△AOG中，，

∴△ABC≌△AOG（SAS）；

（2）四边形AECF是菱形；理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，AD∥BC，

∴∠OAF＝∠OCE，

在△AOF和△COE中，，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OF＝OE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵△ABC≌△AOG，

∴∠AOG＝∠ABC＝90°，

∴AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形．