Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F．

求证：AC＝2BF．

Answer

见解析；

【解析】

由直角三角形ACD中，CF垂直于AD，利用同角的余角相等得到∠F＝∠ADC，再由一对直角相等，AC＝BC，利用AAS得到三角形ACD与三角形CBF全等，利用全等三角形的对应边相等得到CD＝BF，由D为BC中点，得到CD＝BD，等量代换即可得证．

证明：∵Rt△ACD中，∠ACB＝90°，BF∥AC

∴∠ACB=∠CBF=90°

∵∠ACB＝90°，CE⊥AD，

∴∠BCF+∠F＝90°，∠BCF+∠ADC＝90°，

∴∠F＝∠ADC，

在△ACD和△CBF中，

，

∴△ACD≌△CBF（AAS），

∴CD＝BF，

∵D为BC中点，

∴CD＝BD，

∴BF＝CD＝BD＝BC＝AC，

则AC＝2BF．