Question

如图，已知△ABC中∠BAC=135°，点E，点F在BC上，EM垂直平分AB交AB于点M，FN垂直平分AC交AC于点N，BE=12，CF=9．

（1）判断△EAF的形状，并说明理由；

（2）求△EAF的周长．

Answer

（1）△EAF为直角三角形．理由见解析；（2）△EAF的周长=36．

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质得出BE=AE，AF=CF，再由∠BAC=135°得出∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣135°=45°，故∠BAE+∠CAF=45°，∠EAF=135°﹣45°=90°由此可得出结论；

（2）由（1）知△EAF是直角三角形，再根据勾股定理求出EF的长，进而可得出结论．

（1）△EAF为直角三角形．

∵EM是AB的垂直平分线，

∴BE=AE，

∴∠BAE=∠B．

∵FN是AC的垂直平分线，

∴AF=CF，

∴∠CAF=∠C

．∵∠BAC=135°，

∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣135°=45°，

∴∠BAE+∠CAF=45°，

∴∠EAF=135°﹣45°=90°，

∴△EAF为直角三角形；

（2）在△EAF中，

∵∠EAF=90°，

∴EF2=AE2+AF2，

∵BE=12，CF=9，

∴EF2=122+92=225，

∴EF=15，

∴△EAF的周长=12+9+15=36．

故答案为：（1）△EAF为直角三角形．理由见解析；（2）△EAF的周长=36．