Question

如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点E，与CD相交于点F，连接EF．

（1）求证：EF平分∠BFD．

（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的长．

Answer

（1）见解析；（2）5

【解析】

（1）根据切线的性质得到OE⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根据平行线的性质得到∠EFD=∠OEF，由等腰三角形的性质得到∠OEF=∠OFE，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）连接PF，由BF是⊙O的直径，得到∠BPF=90°，推出四边形BCFP是矩形，根据tan∠FBC=，设CF=3x，BC=4x，于是得到3x+=4x，x=，求得AD=BC=4，推出DF∥OE∥AB于是得到DE：AE=OF：OB=1：1即可得到结论．

【解析】
（1）连接OE，

∵∠C=90°，
∴BF是⊙O的直径，
∵⊙O与AD相切于点E，
∴OE⊥AD，
∵四边形ABCD的正方形，
∴CD⊥AD，
∴OE∥CD，
∴∠EFD=∠OEF，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE，
∴∠OFE=∠EFD，
∴EF平分∠BFD；
（2）连接PF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BPF=90°，
∴四边形BCFP是矩形，
∴PF=BC，
∵tan∠FBC=，
设CF=3x，BC=4x，
∴3x+=4x，x=，
∴AD=BC=4，
∵点E是切点，
∴OE⊥AD
∴DF∥OE∥AB
∴DE：AE=OF：OB=1：1
∴DE=AD=2，
∴EF= =5