Question

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P点作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H.(1)∠APB的度数为_______°；(2)求证:△ABP≌△FBP；(3)求证:AH+BD=AB.

Answer

（1）135°，（2）见解析，（3）见解析

【解析】

（1）根据角平分线性质可得∠PAB+∠PBA=45°，即可解题.

（2）易得∠DPB=45°，可得∠BPF=135°，即可证得△ABP≌△FBP；

（3）由（2）可知∠F=∠BAD，AP=PF,AB=BF,即可求得∠F=∠CAD，可得AH=DF，即可解题.

（1）∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC，

∴∠PAB+∠PBA=（∠ABC+∠BAC）=45°，

∴∠APB=180°-45°=135°.

（2）∵∠APB=135°.

∴∠DPB=45°，

∵PF⊥AD，

∴∠BPF=135°，

在△ABP和△FBP中

∴△ABP≌△FBP（ASA）

（3）∵△ABP≌△FBP，

∴∠F=∠BAD，AP=PF,AB=BF,

∵∠BAD=∠CAD,

∴∠F=∠CAD，

在△APH和△FPD中

∴△APH≌△FPD（ASA）

∴AH=DF,

∵BF=DF+BD

∴AB=AH+BD