Question

阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图1，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN=∠BAD.求证:小明充分利用AB=AD，∠ABC与∠ADC互补的条件，将△ABM绕点A逆时针旋转∠BAD的度数，如图2,从而将问题解决。根据阅读材料,证明:用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题：

Answer

见解析

【解析】

由题意知△ABM≌△ADQ,则BM=DQ,∠BAM=∠DAQ，再根据∠MAN=∠BAD，知∠MAN=∠NAQ,即可证得△AMN≌△AQN，得出MN=QN,即可证得.

∵将△ABM绕点A逆时针旋转∠BAD的度数得到△ADQ，

∴△ABM≌△ADQ，

∴BM=DQ,∠BAM=∠DAQ，AM=AQ,

又∵∠MAN=∠BAD，即∠MAN=∠BAM+∠NAD，

∵∠BAM=∠DAQ，

∴∠MAN=∠BAM+∠NAD=∠DAQ+∠NAD，

即∠MAN=∠NAQ，

又AM=AQ,AN=AN,

∴△AMN≌△AQN（SAS）

∴MN=QN=ND+DQ,

则MN=BM+DN.