Question

在平面直角坐标系中，点A点B已知满足.

(1)点A的坐标为_________，点B的坐标为__________；

(2)如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交轴于点D，若点D(-1,0)，求点E的坐标；

(3)在(2)的条件下，如图2，过E作EH⊥OB交AB于H，点M是射线EH上一点(点M不在线段EH上)，连接MO，作∠MON=45°，ON交线段BA的延长线于点N，连接MN，探究线段MN与OM的关系,并说明理由。

Answer

（1）（-4,0） （0，-4）

（2）E（0，-2）

（3）MN⊥OM,MN=OM

【解析】

（1）先将式子变形为完全平方公式的形式，再根据平方的非负性求解;

（2）如图1中，作FH⊥OA于H，由△AFH≌△EAO，推出FH=OA,由△FDH≌△BDO,推出AH=OH=OE=2;

（3）连接OH，OM与BN交于G，由△NGO∽△MGH，推出=,再推出=,再得出△NGM∽△OGH，推出∠NMG=∠OHG=90°，推出△OMN是等腰直角三角形即可解决问题.

（1）∵=0,

∴a=-4,b=-4,

∴点A的坐标为（-4,0），点B的坐标为（0，-4）

（2）作FH⊥OA于H，

∵AF⊥AE，

∴∠FAE=∠AHF=∠AOE=90°，

∴∠FAH+∠OAE=90°，∠FAH+∠AFH=90°，

∴∠AFH=∠OAE,

∵AF=OA，

∴△AFH≌△EAO，

∴FH=OA，

∵点A（-4,0），点B（0，-4）

∴FH=OA=OB=4，

∵∠FHD=∠BOD=90°，∠FDH=∠BDO,

∴△FDH≌△BDO，

∴OD=DH=1，

∴AH=OH=OE=2，

∴E（0，-2）

（3）结论：MN=OM,MN⊥OM，

理由：连接OH，OM与BN交于G，

∵OA=OB,∠AOB=45°，

∴∠OAB=45°

∵OE=EB=2，EH∥OA,

∴AH=BH,OH⊥AB,∠AHM=∠OAB=45°，

∵∠MON=45°

∴∠GON=∠GHM,

∵∠NGO=∠MGH,

∴△NGO∽△MGH，

∴=,

∴=,

∵∠NGM=∠OGH,

∴△NGM∽△OGH，

∴∠NMG=∠OHG=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形

∴MN=OM,MN⊥OM.