Question

如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN；④∠DAE=∠DBC．其中正确的有（  ）

A. ②④    B. ①②③    C. ①②④    D. ①②③④

Answer

C

【解析】∵△DAC和△EBC均是等边三角形，

∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE和△BCD中，

∴△ACE≌△DCB（SAS）；∴①正确；

∵∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠DCE=180°-60°-60°=60°=∠ACD，

∵△ACE≌△DCB，

∴∠NDC=∠CAM，

在△ACM和△DCN中，

∴△ACM≌△DCN（ASA），

∴CM=CN，AM=DN，∴②正确；

∵△ADC是等边三角形，

∴AC=AD，

∠ADC=∠ACD，

∵∠AMC＞∠ADC，

∴∠AMC＞∠ACD，

∴AC＞AM，

即AC＞DN，∴③错误；

∵∠DBC+∠CDB=60°，∠DAE+∠EAC=60°，而∠EAC=∠CDB，∴∠DAE=∠DBC，④正确，

∴正确答案①②④，

故选C．