Question

同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”

（1）请写出它的逆命题　   　；该逆命题是一个　   　命题（填“真”或“假”）

（2）若你的判断是真命题请写出证明过程（要求画图，并写出已知，求证）．若是假命题，请说明理由．

Answer

（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，真；（2）已知，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°．求证：BC＝AB．

【解析】

（1）写出逆命题，并判断是真命题；

（2）首先写出已知、求证，画出图形，借助等边三角形的判定和性质证明或借助三角形的外接圆证明．

【解析】
（1）原命题的逆命题为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，该逆命题是一个真命题；

（2）已知，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°．

求证：BC＝AB．

证明：

证法一：如图1所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，易证AD＝AB，∠BAD＝60°．

∴△ABD为等边三角形，

∴AB＝BD，

∴BC＝CD＝AB，即BC＝AB．

证法二：如图2所示，取AB的中点D，

连接DC，有CD＝AB＝AD＝DB，

∴∠DCA＝∠A＝30°，∠BDC＝∠DCA+∠A＝60°．

∴△DBC为等边三角形，

∴BC＝DB＝AB，即BC＝AB．

证法三：如图3所示，在AB上取一点D，使BD＝BC，

∵∠B＝60°，

∴△BDC为等边三角形，

∴∠DCB＝60°，∠ACD＝90°﹣∠DCB＝90°﹣60°＝30°＝∠A．

∴DC＝DA，即有BC＝BD＝DA＝AB，

∴BC＝AB．

证法四：如图3所示，作△ABC的外接圆⊙D，∠C＝90°，AB为⊙O的直径，

连DC，有DB＝DC，∠BDC＝2∠A＝2×30°＝60°，

∴△DBC为等边三角形，

∴BC＝DB＝DA＝AB，即BC＝AB．