Question

感知：

如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°．判断DB与DC的大小关系并证明．

探究：

如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DB与DC的大小关系变吗？请说明理由．

应用：

如图③，四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB﹣AC＝　   　．（用含a的代数式表示）

Answer

感知：BD＝DC；探究：见解析；应用：a．

【解析】

感知：判断出△ADC≌△ADB，即可得出结论；探究：欲证明DB＝DC，只要证明△DFC≌△DEB即可．应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD＝EB即可解决问题．

感知：【解析】
BD＝DC，

理由：∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC＝∠DAB，

∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，

∴∠C＝90°＝∠B，

在△ADC和△ADB中，，

∴△ADC≌△ADB（AAS），

∴BD＝DC；

探究：

证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，

∴∠B＝∠FCD，

在△DFC和△DEB中，

∴△DFC≌△DEB，

∴DC＝DB；

应用：

解；如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，

∴∠B＝∠FCD，

在△DFC和△DEB中，

∴△DFC≌△DEB，

∴DF＝DE，CF＝BE，

在Rt△ADF和Rt△ADE中，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE，

∴AF＝AE，

∴AB﹣AC＝（AE+BE）﹣（AF﹣CF）＝2BE，

在Rt△DEB中，∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝a，

∴BE＝BD＝a，

∴AB﹣AC＝2BE＝a．