Question

已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE.试判断下列结论：①AE=BD； ②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE²+AD²=AC²+DE² .正确的序号有（  ）

A. ①②    B. ①②③    C. ①②④    D. ①②③④

Answer

C

【解析】

由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2 ，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.

∵∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

又∵AC=BC，CE=CD，

∴△BCD≌△ACE，

∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，

∴∠BAE=120°，

∴∠EAD=60°，②正确，

∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，

∴∠ACD=∠ADC=30°，

∴AC=AD，

∵CE=DE，

∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，

当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，

∵∠AEC=∠BDC，

∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，

∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED

∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，

如图，当点D在AB上时，

∵△BCD≌△∠ACE，

∴∠CAE=∠CBD=60°，

∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，

∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误

故正确的结论有①②④，

故选C.