Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点A，且经过点B（2，m），点C（3,0）.

（1）求直线BC的函数解析式；

（2）在线段BC上找一点D，使得△ABO与△ABD的面积相等，求出点D的坐标；

（3）y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，求出点M的坐标；

（4）如图2，E为线段AC上一点，连结BE，一动点F从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位运动到点E,再沿线段EA以每秒个单位运动到A后停止，设点F在整个运动过程中所用时间为t，求t的最小值.

Answer

（1）；（2）；（3）或 ；（4） t最小值为秒

【解析】

（1）把B（2，m）代入直线l解析式可求出m的值，即可得B点坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，把B、C两点坐标代入可求得k、m的值，即可的直线BC的解析式；（2）过点O作交BC于点D，可知S△ABC=S△ABD，，联立直线BC与OD的解析式解得交点D的坐标即可；（3）分别讨论P点在y轴的负半轴和正半轴时两种情况，①P点在y轴的负半轴时，作于点N，可证明△AOP△PNM1，设

OP=NM1=m，ON=m-2，则M1的坐标为（m，2-m），代入BC解析式即可求出m的值，进而可得M1坐标；②当P点在y轴正半轴时，同①解法可求出M2的坐标，综上即可得答案；（4）作射线AQ与x轴正半轴的夹角为45°，过点B作x轴的垂线交射线AQ于点Q，作于点K，作于点T，可求出AG、AQ、BQ的长，根据时间t=+=BE+EK≥BT，利用面积法求出BT的值即可.

（1）【解析】
将点B（2，m）代入得m=3

∴

设直线BC解析式为得到

∴

∴直线BC解析式为

( 2 )如图，过点O作交BC于点D

∴S△ABC=S△ABD，

∴直线OD的解析式为y=x，

∴

解得

(3)①如图，当P点在y轴负半轴时，作于点N，

∵直线AB与x轴相交于点A，

∴点A坐标为（-2，0），

∵∠APO+∠PAO=90°，∠APO+∠PNM1=90°

∴∠PAO=∠PNM1，

又∵AP=PM1，∠POA=∠PNM1=90°

∴△AOP△PNM1，

∴PN=OA=2，

设OP=NM1=m，ON=m-2

∴

解得

∴

②如图，作于点H

可证明△AOP△PHM2

设HM2=n，OH=n-2

∴

解得

∴M2（，）

∴综上所述或M2（，）.

（4）如图，作射线AQ与x轴正半轴的夹角为45°，过点B作x轴的垂线交射线AQ于点Q，作于点K，作于点T，

∵∠CAQ=45°BG⊥x轴，B（2，3）

∴AG=4，

∴AQ=4，BQ=7，

t==BE+EK≥BT，

由面积法可得：

∴×4×BT=×7×4，

∴BT=

因此t最小值为.