《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何”.大意是说,已知甲、乙二人同时从同一地
点出发,甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远?
【答案】甲走了24.5步,乙走了10.5步
【解析】试题设经x秒二人在B处相遇,然后利用勾股定理列出方程即可求得甲乙两人走的步数.
试题解析:设经x秒二人在B处相遇,这时乙共行AB=3x,
甲共行AC+BC=7x,
∵AC=10,
∴BC=7x﹣10,
又∵∠A=90°,
∴BC2=AC2+AB2,
∴(7x﹣10)2=102+(3x)2,
∴x=0(舍去)或x=3.5,
∴AB=3x=10.5,
AC+BC=7x=24.5,
答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.
【题型】解答题
【结束】
17
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标为(2,4),请解答下列问题:
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点的坐标.
(2)画出△A1B1C1先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度得到的△A2B2C2并写出点的坐标.
计算:()﹣2﹣+(﹣4)0﹣cos45°.
【答案】1
【解析】
先分别根据负整数指数幂及0指数幂的计算法则、数的开方法则、特殊角的三角函数值计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
原式=4﹣3+1=2﹣1=1.
【点睛】
本题考查了实数的运算,熟知负整数指数幂及0指数幂的计算法则、数的开方法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键.
【题型】解答题
【结束】
16
《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何”.大意是说,已知甲、乙二人同时从同一地
点出发,甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远?
如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,AB=6,E是BC上的点,以AE为折痕折叠纸片,使点B落在点F处,连接FC,当ΔEFC为直角三角形时,BE的长为_____.
【答案】3或6.
【解析】
分两种情况讨论:①当∠EFC=90°时,先判断出点F在对角线AC上,利用勾股定理列式求出AC,设BE=x,表示出CE,根据翻折变换的性质可得AF=AB,EF=BE,然后在Rt△CEF中,利用勾股定理列出方程求解即可;②当∠CEF=90°时,判断出四边形ABEF是正方形,根据正方形的四条边都相等可得BE=AB.
分两种情况讨论:①当∠EFC=90°时,如图1.
∵∠AFE=∠B=90°,∠EFC=90°,∴点A、F、C共线.
∵矩形ABCD的边AD=8,∴BC=AD=8.在Rt△ABC中,AC10,设BE=x,则CE=BC﹣BE=8﹣x,由翻折的性质得:AF=AB=6,EF=BE=x,∴CF=AC﹣AF=10﹣6=4.在Rt△CEF中,EF2+CF2=CE2,即x2+42=(8﹣x)2,解得:x=3,即BE=3;
②当∠CEF=90°时,如图2,由翻折的性质得:∠AEB=∠AEF90°=45°,∴四边形ABEF是正方形,∴BE=AB=6.
综上所述:BE的长为3或6.
故答案为:3或6.
【点睛】
本题考查了翻折变化的性质,勾股定理,正方形的判定与性质,此类题目,利用勾股定理列出方程求解是常用的方法,本题难点在于分情况讨论,作出图形更形象直观.
【题型】填空题
【结束】
15
计算:()﹣2﹣+(﹣4)0﹣cos45°.
如图,正五边形ABCDE的边长为2,分别以点C、D为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点F,则的长为_____.
【答案】
【解析】
试题解析:连接CF,DF,
则△CFD是等边三角形,
∴∠FCD=60°,
∵在正五边形ABCDE中,∠BCD=108°,
∴∠BCF=48°,
∴的长=,
故答案为:.
【题型】填空题
【结束】
14
如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,AB=6,E是BC上的点,以AE为折痕折叠纸片,使点B落在点F处,连接FC,当ΔEFC为直角三角形时,BE的长为_____.
因式分【解析】
____.
【答案】a(a-1)2
【解析】
先提取公因式a,再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式.完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.
a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2.
故答案为:a(a-1)2.
【点睛】
本题考查了提公因式法,公式法分解因式,难点在于对余下的项利用完全平方公式进行二次分解因式.
【题型】填空题
【结束】
13
如图,正五边形ABCDE的边长为2,分别以点C、D为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点F,则的长为_____.
9的平方根是_________.
【答案】±3
【解析】
根据平方根的定义解答即可.
∵(±3)2=9,
∴9的平方根是±3.
故答案为:±3.
点睛:本题考查了平方根的定义,注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
【题型】填空题
【结束】
12
因式分【解析】
____.