Question

已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C．

当A、B两点的坐标分别为，时，求a、b满足的关系式．

若该函数图象的对称轴是直线，且为等腰直角三角形．

①求该二次函数的解析式用只含a的式子表示；

②在范围内任取三个自变量、、，所对应的三个函数值分别为、、，若以、、为长度的三条线段能围成三角形，求a的取值范围．

Answer

（1）；（2），．

【解析】

（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、b、c的方程组，然后消去字母c，从而可得到a、b之间的函数关系式；
（2）①先确定出抛物线的对称轴，然后可得到a、b之间的关系，接下来可求得顶点C的坐标（用含a、c的式子表示），然后再用点C的坐标表示出点B的坐标，最后将点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程，通过分解因式可得到a、c之间的关系，从而可得到抛物线的解析式；②先求得y的最大值和最小值，然后依据三角形的三边关系可列出关于a的不等式，从而可求得a的取值范围．

二次函数的图象与x轴交于A、B两点，

．

②-①得

化简得：．

该函数图象的对称轴是直线

，

当时，．

且．

为等腰直角三角形，，

．

．

，

．

．

，，

当或4时，y取得最小值，

当时，y取得最大值．

若以，，为长度的三条线段能围成三角形则且

整理得：且．

解得．