Question

如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．

（2）三角板绕点P旋转，△PCE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PCE为等腰三角形时BE的长）；若不能，请说明理由．

Answer

（1）PD＝PE，理由见解析；（2）BE＝0，2-，2+或1.

【解析】

（1）PD=PE，通过证△DPC≌△EPB，可得结论
（2）分三种情况讨论①当PC＝PE＝时；②当PC＝CE＝时；③当PE＝EC时，可求解．

【解析】
（1）PD＝PE

如图

连接PB

∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中点

∴CP⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝∠ACB＝45°

∴∠ACP＝∠B＝∠BCP＝45°

∴BP＝CP

∵∠DPC+∠CPE＝90°＝∠BPE+∠CPE

∴∠DPC＝∠EPB，BP＝CP，∠ACP＝∠B

∴△DPC≌△EPB

∴DP＝PE

（2）∵AC＝BC＝2，∠C＝90°

∴AB＝2

∴AP＝BP＝CP＝

△PCE是等腰三角形

当PC＝PE＝时，即B，E重合，BE＝0

当PC＝CE＝时，E在线段BC上，则BE＝2﹣

E在线段BC的延长线上，则BE＝2+

当PE＝EC，且∠PCB＝45°

∴∠PEC＝90°

∴EC＝1

∴BE＝1