Question

如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．

（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；

（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．

Answer

（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．

【解析】

（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；（2）设AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根据a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a

（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，

根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，

当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；

当x=45时，100﹣2x=10，

答：AD的长为10m；

（2）设AD=xm，

∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，

当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；

当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，

综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．