Question

等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．

（1）求出S关于t的函数关系式；

（2）当点P运动几秒时，S_△PCQ=S_△ABC？

（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．

Answer

（1）S=（t<10），（t>10）； （2）；（3）不变，理由参见解析．

【解析】

试题由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分类回答．

试题解析：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10-t

∴s=×t×(10−t)=(10t−t2)

当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t-10

∴s=×t×(t−10)=(t2−10t)

（2）∵S△ABC=AB•BC=50

∴当t＜10秒时，S△PCQ=(10t−t2)=50

整理得t2-10t+100=0无解

当t＞10秒时，S△PCQ=(t2−10t)="50"

整理得t2-10t-100=0解得x=5±5（舍去负值）

∴当点P运动5+5秒时，S△PCQ=S△ABC.

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变

证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M

易证△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半

又∵EM=AC=10

∴DE=5

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变