Question

已知二次函数y=9x²﹣6ax+a²﹣b

（1）当b=﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）

①求a的值；

②求当a≤x≤b时，一次函数y=ax+b的最大值及最小值；

（2）若a≥3，b﹣1=2a，函数y=9x²﹣6ax+a²﹣b在﹣＜x＜c时的值恒大于或等于0，求实数c的取值范围．

Answer

（1）①a的值是﹣2或﹣4；②当x=﹣4时，函数取得最大值，y=13，当x=﹣3时，函数取得最小值，y=9；（2）﹣＜c≤．

【解析】

（1）①把b=﹣3和点（﹣1，4）代入y=9x2﹣6ax+a2﹣b即可求出a的值；②根据a≤x≤b，b=﹣3求出a的值，然后根据一次函数的性质求解即可；

（2）先求出抛物线与x轴的交点，然后根据﹣＜x＜c时的值恒大于或等于0列式求解即可.

（1）①∵y=9x2﹣6ax+a2﹣b，当b=﹣3时，

二次函数的图象经过点（﹣1，4）

∴4=9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3，

解得，a1=﹣2，a2=﹣4，

∴a的值是﹣2或﹣4；

②∵a≤x≤b，b=﹣3

∴a=﹣2舍去，

∴a=﹣4，

∴﹣4≤x≤﹣3，

∴一次函数y=﹣4x﹣3，

∵一次函数y=﹣4x﹣3中，y随x的增大而减小，

∴当x=﹣4时，函数取得最大值，y=﹣4×（﹣4）﹣3=13

x=﹣3时，函数取得最小值，y=﹣4×（﹣3）﹣3=9

（2）∵b﹣1=2a

∴y=9x2﹣6ax+a2﹣b可化简为y=9x2﹣6ax+a2﹣2a﹣1

∴抛物线的对称轴为：x=≥1，

抛物线与x轴的交点为（，0）（，0）

∵函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b在﹣＜x＜c时的值恒大于或等于0

∴c≤，

∵a≥3，

∴﹣＜c≤．