Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，C在x轴的正半轴上，已知A（0，8）、C（10，0），作∠AOC的平分线交AB于点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交OA于点E．

（1）求点D的坐标；

（2）求证：△ADE≌△BCD；

（3）抛物线y＝x²﹣x+8经过点A、C，连接AC．探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（8，8）；（2）详见解析；（3）存在，P点坐标为（5，﹣6）．

【解析】

（1）利用角平分线的性质以及矩形的性质得出∠ADO＝∠DOC，以及∠AOD＝∠ADO，进而得出答案；

（2）利用全等三角形的判定方法（ASA）即可得出答案；

（3）设P点坐标为（t， t2﹣t+8），设AC所在的直线的函数关系式为y＝kx+b，根据A（0，8）、C（10，0），求出AC的解析式，进而用t表示出PM的长，利用二次函数的性质求出PM的最值，点P的坐标也可以求出．

【解析】
（1）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC．

∵四边形AOCB是矩形，

∴AB∥OC

∴∠AOD＝∠DOC

∴∠AOD＝∠ADO．

∴OA＝AD（等角对等边）．

∵A点的坐标为（0，8），

∴D点的坐标为（8，8）

（2）∵四边形AOCB是矩形，

∴∠OAB＝∠B＝90°，BC＝OA．

∵OA＝AD，

∴AD＝BC．

∵ED⊥DC

∴∠EDC＝90°

∴∠ADE+∠BDC＝90°

∴∠BDC+∠BCD＝90°．

∴∠ADE＝∠BCD．

在△ADE和△BCD中，

∵∠DAE＝∠B，AD＝BC，∠ADE＝∠BCD，

∴△ADE≌△BCD（ASA）

（3）存在，

∵二次函数的解析式为：，点P是抛物线上的一动点，

∴设P点坐标为（t， t2﹣t+8）

设AC所在的直线的函数关系式为y＝kx+b，

∵A（0，8）、C（10，0），

∴ ，解得

∴直线AC的解析式y=-．

∵PM∥y轴，

∴M（t，-）．

∴PM＝﹣（ t2﹣t+8）+（-）＝- (t-5)2+10．

∴当t＝5时，PM有最大值为10．

∴所求的P点坐标为（5，﹣6）．