Question

已知，两直线AB，CD，且AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，放置一个足够大的三角尺，使得三角尺的两边EP，EQ分别经过点M，N，过点N作射线NF，使得∠ENF＝∠ENC．

(1)转动三角尺，如图①所示，当射线NF与NM重合，∠FND＝45°时，求∠AME的度数；

(2)转动三角尺，如图②所示，当射线NF与NM不重合，∠FND＝60°时，求∠AME的度数．

(3)转动直角三角尺的过程中，请直接写出∠FND与∠AME之间的数量关系．

Answer

(1)∠AME＝22.5°；(2)∠AME＝30°；(3)∠FND＝2∠AME．

【解析】

（1）依据AB∥CD，可得∠AMN＝∠MND＝45°，再根据∠ENF＝∠ENC，可得∠ENM＝（180°﹣45°）＝67.5°，进而得出∠EMN＝22.5°，故∠AME＝45°﹣22.5°＝22.5°；

（2）设ME与FN交于点H，AB与FN交于点G，依据AB∥CD，可得∠AGN＝∠FND＝60°，再根据∠ENF＝∠ENC，即可得出∠ENF＝（180°﹣60°）＝60°，进而得到∠EHN＝30°＝∠GHM，故∠AME＝∠AGN﹣∠GHM＝60°﹣30°＝30°；

（3）由AB∥CD，∠E＝90°，可得∠CNE＝90°﹣∠AME，由∠ENF＝∠ENC，可得∠FND＝180°﹣2∠CNE＝180°﹣2（90°﹣∠AME）＝2∠AME，故∠FND＝2∠AME．

【解析】
(1)如图1所示，∵AB∥CD，

∴∠AMN＝∠MND＝45°，

∵∠ENF＝∠ENC，

∴∠ENM＝(180°﹣45°)＝67.5°，

又∵∠E＝90°，

∴∠EMN＝22.5°，

∴∠AME＝45°﹣22.5°＝22.5°；

(2)如图2所示，设ME与FN交于点H，AB与FN交于点G，

∵AB∥CD，

∴∠AGN＝∠FND＝60°，

∵∠ENF＝∠ENC，

∴∠ENF＝(180°﹣60°)＝60°，

又∵∠E＝90°，

∴∠EHN＝30°＝∠GHM，

∴∠AME＝∠AGN﹣∠GHM＝60°﹣30°＝30°；

(3)由AB∥CD，∠E＝90°，可得∠CNE＝90°﹣∠AME，

由∠ENF＝∠ENC，可得∠FND＝180°﹣2∠CNE＝180°﹣2(90°﹣∠AME)＝2∠AME，

故∠FND与∠AME之间的数量关系为：∠FND＝2∠AME．