Question

数学活动问题情境：

如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）得到△AD′E′，连接CE′，BD′．探究CE′与BD′的数量关系；

探究发展：

（1）图1中，猜想CE′与BD′的数量关系，并证明；

（2）如图2，若将问题中的条件“D，E分别是边AB，AC的中点”改为“D为AB边上任意一点，DE∥BC交AC于点E“，其他条件不变，（1）中CE′与BD′的数量关系还成立吗？请说明理由；

拓展延伸：

（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A顺时针旋转60°得到△AD′E′，连接CE′，BD′，请你仔细观察，提出一个你最关心的数学问题（例如：CE′与BD′相等吗？）．

Answer

【解析】
（1）CE′＝BD′；（2）结论不变；（3）结论：①△D′AB≌△E′AC，②△D′DB≌△DEC，③∠BD′D＝∠CDE，④四边形AD′DE是菱形．（答案不唯一）

【解析】

（1）如图1中，结论：CE′＝BD′．只要证明△D′AB≌△E′AC即可；

（2）结论不变，证明方法类似；

（3）结论：①△D′AB≌△E′AC，②△D′DB≌△DEC，③∠BD′D＝∠CDE，④四边形AD′DE是菱形．（答案不唯一）

【解析】
（1）如图1中，结论：CE′＝BD′．

理由：∵AB＝AC，AD＝DB，AE＝EC，

∴AD＝AE，AD′＝AE′，∠D′AE′＝∠BAC＝90°，

∴∠D′AB＝∠E′AC，

在△D′AB和△′AC中，

，

∴△D′AB≌△E′AC，

∴BD′＝CE′．

（2）如图2中，结论不变．

理由：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AD＝AE，AD′＝AE′，∠D′AE′＝∠BAC＝90°，

∴∠D′AB＝∠E′AC，

在△D′AB和△′AC中，

，

∴△D′AB≌△E′AC，

∴BD′＝CE′．

（3）如图3中，结论：①△D′AB≌△E′AC，②△D′DB≌△DEC，③∠BD′D＝∠CDE，④四边形AD′DE是菱形．（答案不唯一）

理由：∵△ADE，△AD′D，△ABC都是等边三角形，

∴D′A＝AD，∥D′AB＝∠DAC＝60°，AB＝AC，

∴△D′AB≌△DAC．

由DD′＝DE，∠D′DB＝∠DEC＝120°．BD＝EC，

可得△D′DB≌△DEC，

∴∠BD′D＝∠CDE，

∵AD′＝DD′＝DE＝AE，

∴四边形AD′DE是菱形．