Question

如图，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG＝∠ABD．

求证：AD•CE＝DE•DF；

说明：(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来(要求至少写3步)；

(2)在你经历说明(1)的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

①∠CDB＝∠CEB；

②AD∥EC；

③∠DEC＝∠ADF，且∠CDE＝90°．

Answer

(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

连接AF，由直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等的性质，证得直线CD是⊙O的切线，若证AD•CE＝DE•DF，只要征得△ADF∽△DEC即可．在第一问中只能证得∠EDC＝∠DAF＝90°，所以在第二问中只要证得∠DEC＝∠ADF即可解答此题．

(1)连接AF，

∵DF是⊙O的直径，

∴∠DAF＝90°，

∴∠F+∠ADF＝90°，

∵∠F＝∠ABD，∠ADG＝∠ABD，

∴∠F＝∠ADG，

∴∠ADF+∠ADG＝90°

∴直线CD是⊙O的切线

∴∠EDC＝90°，

∴∠EDC＝∠DAF＝90°；

(2)选取①完成证明

∵直线CD是⊙O的切线，

∴∠CDB＝∠A．

∵∠CDB＝∠CEB，

∴∠A＝∠CEB．

∴AD∥EC．

∴∠DEC＝∠ADF．

∵∠EDC＝∠DAF＝90°，

∴△ADF∽△DEC．

∴AD：DE＝DF：EC．

∴AD•CE＝DE•DF．