Question

如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：OE⊥DC．

（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．

Answer

（1）证明见解析（2）4

【解析】

(1) 要证OE⊥DC，可先证四边形OCED是菱形．由DE∥AC，CE∥BD，可得四边形OCED是平行四边形；又因为ABCD是矩形，所以OC=OD．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

(2)由(1) 得出△ODC是等边三角形,所以 DC=OD=OC=2 ,由四边形ABCD是矩形,得到AC=2CO=4, 在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2 ，再利用矩形面积公式即可解答.

(1)证明：

∵DE∥AC,CE∥BD

∴DE∥OC,CE∥OD

∴四边形ODEC是平行四边形

∵四边形ODEC是矩形

∴OD=OC

∴四边形ODEC是菱形

∴OE⊥DC

(2)【解析】
∵DE=2,由（1）知，四边形ODEC是菱形

∴OD=OC=DE=2

∵∠AOD=120°

∴∠DOC=60°

∴△ODC是等边三角形

∴DC=OD=OC=2

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=2CO=4

在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=2

∴S矩形ABCD=2×2=4