Question

如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，CE是△ABC的角平分线，它们相交于点P．

（1）若∠B＝40°，∠AEC＝75°，求证：AB＝BC；

（2）若∠BAC＝90°，AP为△AEC边EC上中线，求∠B的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）30°．

【解析】

由三角形的内角和可求出∠ECB＝35°，根据角平分线的定义可求∠ACB＝70°，进而可求出∠BAC＝70°，从而结论可证；

（2）由AP是△AEC边EC上的中线可知AP＝PC，从而∠PAC＝∠PCA，由CE是∠ACB的平分线，可证∠PAC＝∠PCA＝∠PCD，从而可求出∠PAC的度数，然后求出∠BAD＝60°，继而可求出∠B的值.

（1）证明：∵∠B＝40°，∠AEC＝75°，

∴∠ECB＝∠AEC﹣∠B＝35°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACB＝2∠BCE＝70°，

∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣70°＝70°，

∴∠BAC＝∠BCA，

∴AB＝AC．

（2）∵∠BAC＝90°，AP是△AEC边EC上的中线，

∴AP＝PC，

∴∠PAC＝∠PCA，

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠PAC＝∠PCA＝∠PCD，

∵∠ADC＝90°，

∴∠PAC＝∠PCA＝∠PCD＝90°÷3＝30°，

∴∠BAD＝60°，

∵∠ADB＝90°，

∴∠B＝90°﹣60°＝30°．