Question

如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，

（1）求DE的长；

（2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；

（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．

Answer

（1）2-；（2）2-；（3）3-4.

【解析】

（1）求出，根据勾股定理求出，即可求出；

（2）求出，根据全等三角形的性质得出即可；

（3）延长交于，证，得出比例式，代入即可求出答案.

【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，

∵CE平分∠DCA，

∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22.5°，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°，

∵∠DBC=45°，

∴∠BEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°=∠BCE，

∴BE=BC=，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：BD==2，

∴DE=BD﹣BE=2﹣；

（2）∵FE⊥CE，

∴∠CEF=90°，

∴∠FEB=∠CEF﹣∠CEB=90°﹣67.5°=22.5°=∠DCE，

∵∠FBE=∠CDE=45°，BE=BC=CD，

∴△FEB≌△ECD，

∴BF=DE=2﹣；

（3）延长GE交AB于F，

由（2）知：DE=BF=2﹣，

由（1）知：BE=BC=，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，

∴△DGE∽△BFE，

∴=，

∴=，

解得：DG=3﹣4．