Question

如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．

（1）求证：四边形ECDG是菱形；

（2）若DG＝6，AG＝，求EH的值．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）根据折叠的性质，邻边相等的平行四边形为菱形证得结论；

（2）如图，连接交于点，构造相似三角形，由该相似三角形的对应边成比例求得，可求的长，的长，通过证明可得的长，即可求的值.

【解析】
（1）由折叠可知DC＝EC，∠DCG＝∠ECG．

∵EG∥CD，

∴∠DCG＝∠EGC，

∴∠EGC＝∠ECG，

∴EG＝EC，

∴EG＝DC，且EG∥CD

∴四边形ECDG是平行四边形．

∵EG＝EC，

∴平行四边形ECDG是菱形

（2）如图，连接ED交AC于点O，

∵四边形ECDG是菱形，

∴ED⊥AC，，CD＝GE＝6＝DG，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，

∴△DCO∽△ACD，

∴，

∴DC2＝OC•AC，

设OC＝x，则CG＝2x，，

∴36＝x（2x+），

解得，（不合题意，舍去），

∴，，

∵EG∥CD，CD⊥BC，

∴EG⊥BC，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，且∠GHC＝∠ADC＝90°，

∴△ADC∽△CHG，

∴，

∴GH＝，

∵EH＝EG﹣GH，

∴EH＝6﹣＝.