Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，，，C为y轴正半轴上一点，且．

求的度数；

如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：

若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知是直角三角形，求t的值；

若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系．

Answer

（1）∠OBC=60°；（2）①或2；②当a＜5时，a+b=5；当a＞5时，a﹣b=5

【解析】

(1)根据等边三角形性质可得∠OBC=60°；(2)分三种情况分析图形可能的结果，再根据直角三角形的特殊边关系推出结果(300角所对直角边等于斜边的一半)；（3）分两种情况分析图形可能的结果，再根据等腰三角形的特殊边关系推出结果（等腰三角形两腰相等）.

（1）如图1：

在OA上取一点D，使得OD=OB，连接CD，则BD=2OB=4，

∵CO⊥BD，

∴CD=CB=4，

∴CD=CB=BD，

∴△DBC是等边三角形，

∴∠OBC=60°；

（2）①由题意，得AP=2t，BQ=t，

∵A（﹣3，0），B（2，0），

∴AB=5，

∴PB=5﹣2t，

∵∠OBC=60°≠90°，

∴下面分两种情况进行讨论，

Ⅰ）如图2：

当∠PQB=90°时，

∵∠OBC=60°，

∴∠BPQ=30°，

∴BQ=，

∴t=，解得：t=；

Ⅱ）当∠QPB=90°时，如图3：

∵∠OBC=60°，

∴∠BQP=30°，

∴PB=，

∴，解得：t=2；

②如图4：

当a＜5时，

∵AP=a，BQ=b，

∴BP=5﹣a，

∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°，

∴△PQB是等边三角形，∴b=5﹣a，即a+b=5，

如图5：当a＞5时，

∵AP=a，BQ=b，

∴BP=a﹣5，

∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°，

∴BP=BQ，

∴a﹣5=b，即a﹣b=5.

故正确答案为：（1）∠OBC=60°；（2）①或2；②当a＜5时，a+b=5；当a＞5时，a﹣b=5.