Question

已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动(不与A、B两点重合)．

(1)如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：∠CPD＝∠PCA+∠PDB，请说明理由；

(2)如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；

(3)如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系(只需直接给出结论)？

Answer

（1）证明见解析；（2）∠CPD=∠PCA﹣∠PDB．理由见解析；（3）∠CPD=∠PDB﹣∠PCA．

【解析】

（1）过点P作a的平行线，根据平行线的性质进行求解；

（2）过点P作b的平行线PE，由平行线的性质可得出a∥b∥PE，由此即可得出结论；

（3）设直线AC与DP交于点F，由三角形外角的性质可得出∠1+∠3=∠PFA，再由平行线的性质即可得出结论．

（1）证明：如图1，过点P作PE∥a，则∠1=∠CPE．

∵a∥b，PE∥a，

∴PE∥b，

∴∠2=∠DPE，

∴∠3=∠1+∠2，

即∠CPD=∠PCA+∠PDB；

（2）∠CPD=∠PCA-∠PDB．

理由：如图2，过点P作PE∥b，则∠2=∠EPD，

∵直线a∥b，

∴a∥PE，

∴∠1=∠EPC，

∵∠3=∠EPC-∠EPD，

∴∠3=∠1-∠2，

即∠CPD=∠PCA-∠PDB；

（3）∠CPD=∠PDB-∠PCA．

证明：如图3，设直线AC与DP交于点F，

∵∠PFA是△PCF的外角，

∴∠PFA=∠1+∠3，

∵a∥b，

∴∠2=∠PFA，

∴∠2=∠1+∠3，

∴∠3=∠2-∠1，

即∠CPD=∠PDB-∠PCA．