Question

如图，在Rt△ABC中，点D在直角边BC上，DE平分∠ADB，∠1＝∠2＝∠3，AC＝5cm．

（1）求∠3的度数；

（2）判断DE与AB的位置关系，并说明理由；

（3）求BE的长．

Answer

（1）∠3＝30°；（2）DE⊥AB；（3）BE＝5cm．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理解答；

（2）根据已知条件∠2＝∠3、DE平分∠ADB，可以判定DE是等腰△ABD底边AB上的中垂线，即DE⊥AB；

（3）利用（1）中的30°的∠3所对的直角边是斜边的一半知AC＝AB；然后根据（2）中的DE是边AB的中垂线的性质知BE＝AB；所以BE＝AC＝5cm．

【解析】
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2＝∠3，

∴∠1+∠2+∠3＝90°，即3∠3＝90°，

∴∠3＝30°；

（2）DE⊥AB．

理由：在△ADB中，∠2＝∠3，

∴△ADB是等腰三角形；

又∵DE平分∠ADB，

∴DE是边AB上的中垂线，

∴DE⊥AB；

（3）由（1）知，Rt△ABC中，∠3＝30°，

∴AC＝AB（30°角所对的直角边是斜边的一半）；

又由（2）知，DE是边AB上的中垂线，

∴BE＝AB，

∴BE＝AC＝5cm．