Question

（问题背景）

如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，.

（问题应用）

如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点共线，连接BD，

（1）求证：△ADB≌△AEC；

（2）直接写出AD、BD、CD之间的数量关系；

如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在△ABC内部作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE、CF．

（1）判断△EFC的形状，并给出证明．

（2）若AE＝5，CE＝2，求BF的长．

Answer

【问题应用】（1）见解析;（2）结论：CD＝AD+BD,理由见解析;如图3，（1）见解析;（2）BF＝3．

【解析】

如图2，（1）只要证明∠DAB＝∠CAE，即可根据SAS解决问题；

（2）结论：CD＝AD+BD．如图2﹣1中，作AH⊥CD于H，由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°＝AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，即可解决问题；

如图3，（1）作BH⊥AE于H，连接BE．由BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC＝∠AEC＝120°，推出∠FEC＝60°，推出△EFC是等边三角形；

（2）由AE＝5，EC＝EF＝2，推出AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，在Rt△BHF中，由∠BFH＝30°，可得＝cos30°，由此即可解决问题．

【解析】
【问题应用】如图2，（1）

∵∠BAC＝∠DAE＝120°，

∴∠DAB＝∠CAE，

在△DAE和△EAC中，

∵，

∴△DAB≌△EAC，

（2）结论：CD＝AD+BD．

理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．

∵△DAB≌△EAC，

∴BD＝CE，

在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°＝AD，

∵AD＝AE，AH⊥DE，

∴DH＝HE，

∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．

如图3，（1）证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，

∴△ABD，△BDC是等边三角形，

∴BA＝BD＝BC，

∵E、C关于BM对称，

∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，

∴A、D、E、C四点共圆，

∴∠ADC＝∠AEC＝120°，

∴∠FEC＝60°，

∴△EFC是等边三角形，

（2）∵AE＝5，EC＝EF＝2，

∴AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，

在Rt△BHF中，∵∠BFH＝30°，

∴＝cos30°，

∴BF＝＝3．

故答案为：【问题应用】（1）见解析;（2）结论：CD＝AD+BD,理由见解析;如图3，（1）见解析;（2）BF＝3．