Question

如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC上一点，点E在CA的延长线上，连结EB、ED，且EB=ED.

(1)求证:∠DEC=∠ABE；

(2)点D关于直线EC的对称点为M,连接EM、BM：

①依题意将图2补全；

②求证:EB=BM.

   

Answer

（1）证明见解析；（2）①作图见解析；②证明见解析．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，再根据等边对等角以及三角形外角的性质即可得出结论；

（2）①根据题意作出图形即可；

②由轴对称的性质得到：DE=EM，DG=GM，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠2=∠1．由（1）的结论即可得到∠1=∠3．再证明△BEM是等边三角形即可得出结论．

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．

∵BE=DE，∴∠EBD=∠EDB，∴∠EBA+∠ABC=∠CED+∠C，∴∠EBA =∠CED，即∠DEC=∠ABE；

（2）①作图如下：

②∵D、M关于直线AC对称，∴DE=EM，DG=GM，∴∠2=∠1．由（1）得：∠2=∠3，∴∠1=∠3．

∵BE=DE，∴BE=ME．

∵∠3+∠BEA=∠BAC=60°，∴∠1+∠BEA=60°，∴∠BEM=60°．

∵BE=ME，∴△BEM是等边三角形，∴EB=BM．