Question

阅读下面材料:小明遇到这样一个问题：

如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,求证:BC=AB+2BD.

小明利用条件AD⊥BC,在CD上截取DH=BD,如图2,连接AH,既构造了等腰△ABH，又得到BH=2BD,从而命题得证。

(1)根据阅读材料,证明:BC=AB+2BD；

(2)参考小明的方法,解决下面的问题：

如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABD=∠BCE,∠ABC=∠DCE,请探究AD与BE的数量关系,并说明理由。

Answer

（1）证明见解析；（2）BE=2AD．

【解析】

（1）由BD=DH，AD⊥BH，得到AB=AH，由等边对等角得到∠B=∠AHB，再由∠B=2∠C和三角形外角的性质得到∠C=∠CAH，由等角对等边得到AH=HC，即有AB=HC，从而可以得出结论；

（2）延长DA至点F，使得AF=AD，连接BF．设∠ABD=∠BCE=x，∠ABC=∠DCE=y．

证明BA垂直平分DF，得到BF=BD，∠1=∠DBA=x，进而得到∠FBC=∠ACB，由等角对等边得到BF=CF，即有BD=FC．由三角形外角的性质得到∠2=∠DCE，则有DE=DC，结合BD=CF，即可得到结论．

（1）∵BD=DH，AD⊥BH，∴AB=AH，∴∠B=∠AHB．

∵∠B=2∠C，∴∠AHB=2∠C=∠C+∠CAH，∴∠C=∠CAH，∴AH=HC，∴AB=HC，∴BC=HC+BH=AB+2BD．

（2）BE=2AD．理由如下：

延长DA至点F，使得AF=AD，连接BF．设∠ABD=∠BCE=x，∠ABC=∠DCE=y．

∵AF=AD，∠BAD=90°，∴BA垂直平分DF，∴BF=BD，∠1=∠DBA=x，∴∠FBC=∠1+∠ABC=x+y，∠ACB=∠DCE+∠ECB=x+y，∴∠FBC=∠ACB，∴BF=CF．

∵BF=BD，∴BD=FC．

∵∠2=∠3+x=∠ABC=y=∠DCE，∴DE=DC．

∵BD=FC，∴BE+DE=2AD+DC，∴BE=2AD．