Question

已知等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D为△ABC内部一点，连接AD、BD、CD，点H为BD中点，连接AH，且∠BAH=∠ACD．

(1)如图1，若∠ADB=90°，求证：∠DAH=45°；

(2)如图2，若∠ADB＜90°，(1)问中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

   

Answer

（1）证明见解析；（2）成立．

【解析】

（1）用ASA证明△ABH≌△CAD，得到BH=AD，即AD=HD，得到△AHD是等腰直角三角形，即可得出结论；

（2）延长AH到E，使HE=AH，连接DE．延长CD交AB于F，交AH于G．通过证明△ABH≌△EDH和△EGD≌△CGA，得到△AGD为等腰直角三角形，即可得出结论．

（1）∵∠BAC=90°，∴∠CAD+∠BAD=90°．

∵∠ADB=90°，∴∠ABH+∠BAD=90°，∴∠CAD=∠ABH．

在△ABH和△CAD中，∵∠BAH=∠ACD，AB=CA，∠ABH=∠CAD，∴△ABH≌△CAD（ASA），∴BH=AD．

∵H为BD的中点，∴BH=HD，∴AD=HD，∴△AHD是等腰直角三角形，∴∠DAH=45°．

（2）成立．理由如下：

如图，延长AH到E，使HE=AH，连接DE．延长CD交AB于F，交AH于G．

∵BH=DH，∠BHA=∠DHE，AH=EH，∴△ABH≌△EDH，∴AB=ED，∠1=∠E．

∵AB=AC，∴ED=AC．

∵∠1=∠2，∴∠E=∠2．

∵∠BAC=90°，∴∠1+∠GAC=90°．

∵∠1=∠2，∴∠2+∠GAC=90°，∴∠AGC=90°，∴∠EGD=∠CGA=90°．

在△EGD和△CGA中，∵∠E=∠2，∠EGD=∠CGA，ED=CA，∴△EGD≌△CGA（AAS），∴GD=GA，∴△AGD为等腰直角三角形，∴∠DAH=45°．