Question

如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A、B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA，

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是直角三角形，求出所有可能的E点坐标．

Answer

（1）y＝，y＝﹣x+6；（2）．（3）E坐标为（﹣，2）或（，2）或（，2）或（，2）．

【解析】

（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
（3）分三种情形分别讨论求解即可解决问题；

【解析】
（1）∵点B（3，2）在反比例函数y＝的图象上，

∴a＝3×2＝6，

∴反比例函数的表达式为y＝，

∵点A的纵坐标为4，

∵点A在反比例函数y＝图象上，

∴A（，4），

∴，∴，

∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6；

（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，

∵B（3，2），

∴直线OB的解析式为y＝x，

∴G（，1），

A（，4），

∴AG＝4﹣1＝3，

∴S△AOB＝S△AOG+S△ABG＝×3×3＝．

（3）如图2中，

当∠AOE1＝90°时，∵直线AC的解析式为y＝x，

∴直线OE1的解析式为y＝﹣x，

当y＝2时，x＝﹣，

∴E1（﹣，2）．

当∠OAE2＝90°时，

直线OE1平行直线OE2

设直线OE2的解析式为y＝﹣x+b，

∴直线过点A（，4），则b=

∴直线OE2的解析式为y＝﹣x+，

当y＝2时，x＝，

∴E2（，2）．

当∠OEA＝90°时，

∵A（，4），∴OA=

∴AC＝OC＝CE＝，

∵C（，2），

∴可得E3（，2），E4（，2），

综上所述，满足条件的点E坐标为（﹣，2）或（，2）或（，2）或（，2）．