Question

如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．

Answer

（1）图形见解析（2）∠BDC=60°-α（3）PB=PC+2PE

【解析】

试题（1）按题意补全图形即可；

（2）由点A与点D关于CN对称可得CA=CD，再由∠ACN=α得到∠ACD=2α，由等边△ABC可推得∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α，从而可得；

（3）PB=PC+2PE． 在PB上截取PF使PF=PC，连接CF，通过推导可证明△BFC≌△DPC，再利用全等三角形的对应边相等即可得.

试题解析：（1）如图所示；

（2）∵点A与点D关于CN对称，

∴CN是AD的垂直平分线，

∴CA=CD，

∵，

∴∠ACD=2，

∵等边△ABC，

∴CA=CB=CD，∠ACB=60°，

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+，

∴∠BDC=∠DBC=（180°∠BCD）=60° ；

（3）结论：PB=PC+2PE．

本题证法不唯一，如：

在PB上截取PF使PF=PC，连接CF．

∵CA=CD，∠ACD=

∴∠CDA=∠CAD=90° ．

∵∠BDC=60° ，

∴∠PDE=∠CDA∠BDC=30°

∴PD=2PE．

∵∠CPF=∠DPE=90°∠PDE=60°．

∴△CPF是等边三角形．

∴∠CPF=∠CFP=60°．

∴∠BFC=∠DPC=120°．

∴在△BFC和△DPC中，

，

∴△BFC≌△DPC．

∴BF=PD=2PE．

∴PB= PF+BF=PC+2PE．