Question

如图，△ABC中，CD⊥AB于D．

（1）图中有几个直角三角形；

（2）若AD=12，AC=13，则CD等于多少；

（3）若CD²=AD·DB， 求证：△ABC是直角三角形．

Answer

（1）2；（2）5；（3）见解析.

【解析】

（1）根据CD⊥AB即可进行判断；

（2）利用勾股定理求解即可；

（3）根据勾股定理可得BD2=BC2﹣CD2，AD2=AC2﹣CD2，再利用完全平方公式（AD+BD）2=AD2+2AD·BD+BD2，代入整理，根据勾股定理的逆定理即可得证.

（1）∵CD⊥AB，

∴△ACD与△BCD都是直角三角形，

故图中有2个直角三角形；

（2）在Rt△ACD中，

CD==5；

（3）在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣CD2，

在Rt△BCD中，BD2=BC2﹣CD2，

∵CD2=AD·DB，

∴（AD+BD）2=AD2+2AD·BD+BD2

= AC2﹣CD2+2 CD2+BC2﹣CD2

= AC2+ BC2=AB2，

则△ABC是直角三角形．