Question

二次函数y=的图象与x轴交于点A和点B，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）求出m的值并求出点A、点B的坐标．

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）m=﹣2，A（﹣3，0），B（1，0）；（2）P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在，见解析.

【解析】

（1）利用二次函数的定义求出m的知，再令y=0即可得出点A，B坐标；
（2）设PA=t（-3＜t＜0），则OP=3-t，如图1，证明△DAP∽△POE，利用相似比得到OE=- ，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）讨论：当点P在y轴左侧时，如图2，DE交AB于G点，证明△DAP≌△POE得到PO=AD=4，则PA=1，OE=1，再利用平行线分线段成比例定理计算出AG= ，则计算S△DAG即可得到此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；当P点在y轴右侧时，如图3，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，同理可得△DAP≌△POE，则PO=AD=4，PA=7，OE=7，再利用平行线分线段成比例定理计算出OG和BQ，然后计算S四边形DGBQ得到此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积．当点P和点A重合时，点E和和点O重合，此时，△PED不是等腰三角形．

（1）∵二次函数y=（m﹣1）﹣6x+9，

∴m2+m=2且m﹣1≠0，

∴m=﹣2，

∴二次函数解析式为y=﹣3x2﹣6x+9，

令y=0，

∴0=﹣3x2﹣6x+9，

∴x=1或x=﹣3，

∴A（﹣3，0），B（1，0）；

（2）设PA=t（﹣3＜t＜0），则OP=3﹣t，

∵DP⊥PE，

∴∠DPA=∠PEO，

∴△DAP∽△POE，

∴，即，

∴OE=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，OE有最大值，

即P为AO中点时，OE的最大值为；

（3）存在．

当点P在y轴左侧时，如图1，DE交AB于G点，

∵PD=PE，∠DPE=90°，

∴△DAP≌△POE，

∴PO=AD=4，

∴PA=1，OE=1，

∵AD∥OE，

∴=4，

∴AG=，

∴S△DAG=××4=，

∴P点坐标为（﹣4，0），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为；当P点在y轴右侧时，如图2，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，同理可得△DAP≌△POE，

∴PO=AD=4，

∴PA=7，OE=7，

∵AD∥OE，

∴，

∴OG=，

同理可得BQ=，

∴S四边形DGBQ=×（+1）×4+×4×=

∴当点P的坐标为（4，0）时，此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为．

当点P和点A重合，此时，点E和点O重合，∴DP≠OP，此时，△PDE不是等腰三角形．