Question

如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．

求抛物线的表达式；

求证：AB平分；

抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

抛物线的解析式为；证明见解析；点M的坐标为或．

【解析】

将，代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；

先求得AC的长，然后取，则，连接BD，接下来，证明，然后依据SSS可证明≌，接下来，依据全等三角形的性质可得到；

作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作，作，分别交抛物线的对称轴与、M，依据点A和点B的坐标可得到，从而可得到或，从而可得到FM和的长，故此可得到点和点M的坐标．

将，代入得：，

解得：，，

抛物线的解析式为；

，，

，

取，则，

由两点间的距离公式可知，

，，

，

，

在和中，，，，

≌，

，

平分；

如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．

抛物线的对称轴为，则．

，，

，

，

，

，

，

同理：，

又，

，

，

点M的坐标为或．