Question

如图，抛物线y=x²+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(一1，0)．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；

(3)点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．

Answer

（1）, D (, );（2）△ABC是直角三角形,证明见解析;

（3）M（ ，0）.

【解析】

试题（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案；
（3）根据轴对称的性质，两点之间线段最短，可得M点是对称轴与BC的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

试题解析：(1)∵点A(−1,0)在抛物线上，

∴

解得 

∴抛物线的解析式为

∵

∴顶点D的坐标为

(2)△ABC是直角三角形，理由如下：

当x=0时，y=−2，

∴C(0,−2)，则OC=2.

当y=0时,

∴ 则B(4,0)，

∴OA=1，OB=4，

∴AB=5.

∴

∴△ABC是直角三角形；

(3)由题意A. B两点关于对称轴对称，故直线BC与对称轴的交点即为点M.

由B(4,0),C(0,−2)

设直线BC:y=kx−2

4k−2=0，

所以直线

当时,

所以