Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN． 求证：

（1）△APM是等腰三角形；   

（2）PC=AN．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

(1)利用条件得到∠BAM=∠ANM=90°，∠PAQ=∠AMN即可解答.

(2)转换角度，利用角平分线性质解答.

（1）【解析】
∵BA⊥AM，MN⊥AC，

∴∠BAM=∠ANM=90°，

∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，

∴∠PAQ=∠AMN，

∵PQ⊥AB，MN⊥AC，

∴∠PQA=∠ANM=90°，

在△AQP和△MNA中，

∴△AQP≌△MNA，

∴MA=AP，

∴△APM是等腰三角形．

（2）【解析】
∵MA=AP，

∴∠AMP=∠APM，

∵∠APM=∠BPC，

∴∠AMP=∠BPC，

∵∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=180°-∠BAM=90°，

∴∠ABM=∠PBC，

∵PQ⊥AB，PC⊥BC，

∴PQ=PC（角平分线的性质），

由（1）可知AN=PQ，

∴PC=AN．