Question

如图，已知，在△ABC中，AB＝AC，分别以AB、BC为边作等边△ABE和等边△BCD，连结CE、AD． 

（1）求证：∠ACD＝∠ABD；   

（2）判断DC与CE的位置关系，并加以证明；

Answer

（1）见解析；（2）DC⊥CE，理由见解析

【解析】

（1）利用三角形全等进行证明.

(2)根据三角形全等求出△ABE为等边三角形，再利用条件得到△ABD≌△EBC即可解答.

（1）证明：∵△BCD为等边三角形，

∴DB＝DC，

在△ABD与△ACD中，

∵

∴△ABD≌△ACD，

∴∠ABD＝∠ACD

（2）【解析】
DC⊥CE，证明如下：

由（1）可得△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC，

又∵∠BDC＝60°，

∴，

∵△ABE为等边三角形，

∴AB=BE，∠ABE＝60°，

∴∠1＝60°－∠3，

∵∠2＝60°－∠3，

∴∠1=∠2，

在△ABD与△EBC中，

∴△ABD≌△EBC，

∴∠BCE＝∠BDA＝150°，

∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝150°－60°＝ 90°．

∴DC⊥CE