Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．

Answer

（1）60°

证明略

【解析】（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，

∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠BAC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，

即BA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线；

（3）如图，连接OC，

∵OB=OC，∠ABC=60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC=4，∠BOC=60°，

∴∠AOC=120°，

∴劣弧AC的长为．