Question

如图，在中，，点D在BC上，，过点D作，垂足为E，经过A，B，D三点．

求证：AB是的直径；

判断DE与的位置关系，并加以证明；

若的半径为10m，，求DE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）与圆O相切，理由见解析；（3）．

【解析】

（1）连接AD，由AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC，利用90°的圆周角所对的弦为直径即可得证；
（2）DE与圆O相切，理由为：连接OD，由O、D分别为AB、CB中点，利用中位线定理得到OD与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角，再由OD为半径，即可得证；
（3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到三角形ABC为等边三角形，设AC与交于点F，连接BF，DE为△CBF中位线，求出BF的长，即可确定出DE的长．

证明：如图

连接AD，

，，

，

，

为圆O的直径；

与圆O相切，理由为：

证明：连接OD，

、D分别为AB、BC的中点，

为的中位线，

，

，

，

为圆的半径，

与圆O相切；

【解析】
，，

为等边三角形，

，

设AC与交于点F，连接BF，

为圆O的直径，

，

，，

为BC中点，

为CF中点，即DE为中位线，

在中，，，

根据勾股定理得：，

则．