Question

已知△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交边AC于E．

(1)如图(1)，当∠BAC＝108°时，证明：BC＝AB+CE；

(2)如图(2)，当∠BAC＝100°时，(1)中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．

Answer

(1)证明见解析；(2)BC＝BE+AE，证明见解析．

【解析】

（1）如图1中，在BC上截取BD＝BA．只要证明△BEA≌△BED，CE＝CD即可解决问题；

（2）结论：BC＝BE+AE．如图2中，在BA、BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE．则△EBH≌△EBF，再证明EA＝EH＝EF＝CF即可解决问题；

(1)如图1中，在BC上截取BD＝BA．

∵BA＝BD，∠EBA＝∠EBD，BE＝BE，

∴△BEA≌△BED，

∴BA＝BD，∠A＝∠BDE＝108°，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC＝36°，∠EDC＝72°，

∴∠CED＝72°，

∴CE＝CD，

∴BC＝BD+CD＝AB+CE．

(2)结论：BC＝BE+AE．

理由：如图2中，在BA、BC上分别截取BF＝BE，BH＝BE．则△EBH≌△EBF，

∴EF＝EH，

∵∠BAC＝100°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝40°，

∴∠EBA＝∠EBC＝20°，

∴∠BFE＝∠H＝∠EAH＝80°，

∴AE＝EH，

∵∠BFE＝∠C+∠FEC，

∴∠CEF＝∠C＝40°，

∴EF＝CF，

∴BC＝BF+CF＝BE+AE．