Question

如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

①李明同学做了如图乙的辅助线，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP′，从而问题得到解决．你能说明其中理由并完成问题解答吗？

②如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1；求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

Answer

①见解析；②∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是．

【解析】

①根据旋转得出AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠AP′B＝∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP＝60°，得到等边△BPP′，推出PP′＝PB＝，∠BP′P＝60°，求出∠AP′P＝90°，即可求出∠BPC；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B＝30°，求出BM＝，P′M＝，根据勾股定理即可求出答案；

②同理求出∠BEP＝（180°﹣90°）＝45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AEP＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE＝BF＝1，AF＝2，根据勾股定理即可求出AB．

①∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP′，

∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠AP′B＝∠BPC，

由旋转得：∠P'BP＝∠ABC＝60°，

∴△BPP′是等边三角形，

∴PP′＝PB＝，∠BP′P＝60°，

∵AP′＝1，AP＝2，

∴AP′2+PP′2＝AP2，

∴∠AP′P＝90°，

∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°，

过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，

∴∠MP′B＝30°，BM＝P'B＝，

由勾股定理得：P′M＝＝，

∴AM＝AP'+P'M＝1+＝，

由勾股定理得：AB＝＝＝，

②将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，如图丙，

与(1)类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，

∴∠EBP＝∠ABC＝90°，

∴∠BEP＝45°，

由勾股定理得：EP＝2，

∵AE＝1，AP＝，EP＝2，

∴AE2+PE2＝AP2，

∴∠AEP＝90°，

∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°，

过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；

∴∠FEB＝45°，

∴FE＝BF＝1，

∴AF＝2；

∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝＝；

答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是．