Question

如图，AB是的直径，点C、D在上，且AD平分，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．

证明EF是的切线；

求证：；

已知圆的半径，，求GH的长．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）由题意可证OD∥AE，且EF⊥AE，可得EF⊥OD，即EF是⊙O的切线；（2）由同弧所对的圆周角相等，可得∠DAB＝∠DGB，由余角的性质可得∠DGB＝∠BDF；（3）由题意可得∠BOG＝90°，根据勾股定理可求GH的长．

【解析】
（1）证明：连接OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA

又∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠CAD

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AE，

又∵EF⊥AE，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°

∴∠DAB+∠OBD＝90°

由（1）得，EF是⊙O的切线，

∴∠ODF＝90°

∴∠BDF+∠ODB＝90°

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD

∴∠DAB＝∠BDF

又∠DAB＝∠DGB

∴∠DGB＝∠BDF

（3）连接OG，

∵G是半圆弧中点，

∴∠BOG＝90°

在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝2．

∴GH＝＝.