Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且一1，．

求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

判断的形状，证明你的结论；

点M是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点M的坐标及的最小周长．

Answer

（1）y=x2-x-2；（, -）；（2）△ABC是直角三角形；（3），△ACM最小周长是.

【解析】

试题（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；

（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案；

（3）根据轴对称的性质，两点之间线段最短，可得M点是对称轴与BC的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

试题解析：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-2上，

∴×（-1）2+b×（-1）-2=0，

解得 b=-，

∴抛物线的解析式为y=x2-x-2．

∵y=x2-x-2=（x-）2-，

∴顶点D的坐标为（，-）；

（2）△ABC是直角三角形．理由如下：

当x=0时，y=-2，

∴C（0，-2），则OC=2．

当y=0时，x2-x-2=0，

∴x1=-1，x2=4，则B（4，0），

∴OA=1，OB=4，

∴AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）由题意A、B两点关于对称轴对称，故直线BC与对称轴的交点即为点M．

由B（4，0），C（0，-2）

设直线BC：y=kx-2

4k-2=0，

k=．

所以直线BC：y=x-2．

当x=时，y=×-2=-．

所以M（，-）．

所以ΔACM最小周长是：AC+AM+MC=.