Question

已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD，交直线AB与点D，点P是射线CD上的一个动点．

(1)求点A，B的坐标．

(2)如图2，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C′落在直线AB上时，求点P的坐标．

(3)若直线OP与直线AD有交点，不妨设交点为Q(不与点D重合)，连接CQ，是否存在点P，使得S_△CPQ＝2S_△DPQ，若存在，请求出对应的点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（﹣4，0），B（0，3）；（2）P（4，）；（3）满足条件的点Q（12，12）或（，4）．

【解析】

令x=0，y=0即可求出A，B坐标.

因为点C是点A关于y轴对称的点，求得C坐标，因为CD⊥x轴，所以求得D坐标，由折叠知，AC'=AC，所以C'D=AD﹣AC'，设PC=a，在Rt△DC'P中通过勾股定理求得a值，即可求得P点坐标.

在S△CPQ=2S△DPQ情况下分类讨论P点坐标即可求解.

【解析】
（1）令x=0，则y=3，

∴B（0，3），

令y=0，则x+3=0，

∴x=﹣4，

∴A（﹣4，0）；

（2）∵点C是点A关于y轴对称的点，

∴C（4，0），

∵CD⊥x轴，

∴x=4时，y=6，∴D（4，6），

∴AC=8，CD=6，AD=10，

由折叠知，AC'=AC=8，

∴C'D=AD﹣AC'=2，

设PC=a，

∴PC'=a，DP=6﹣a，

在Rt△DC'P中，a2+4=（6﹣a）2，

∴a=，

∴P（4，）；

（3）设P（4，m），

∴CP=m，DP=|m﹣6|，

∵S△CPQ=2S△DPQ，

∴CP=2PD，

∴2|m﹣6|=m，

∴m=4或m=12，

∴P（4，4）或P（4，12），

∵直线AB的解析式为y=x+3①，

当P（4，4）时，直线OP的解析式为y=x②，

联立①②解得，x=12，y=12，

∴Q（12，12），

当P（4，12）时，直线OP解析式为y=3x③，

联立①③解得，x=，y=4，

∴Q（，4），

即：满足条件的点Q（12，12）或（，4）．