Question

已知AB∥CD，解决下列问题：

(1)如图①，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度数．

(2)如图②，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，试写出∠P与∠E的数量关系并说明理由．

(3)如图③，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，设∠E＝m°，求∠P的度数(直接用含n、m的代数式表示，不需说明理由)．

Answer

(1)∠P＝130°；(2)3∠P+∠BED＝360°；(3)∠P＝．

【解析】

（1）过E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，再根据∠BED＝100°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，即可得到∠P的度数．

（2）过E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，再根据∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，即可得到∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝240°﹣∠BED，再根据四边形内角和得出∠P与∠E的数量关系；

（3）利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣m°，再根据∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，即可得到∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝（360°﹣m°），再根据四边形PDEB内角和，即可得到∠P＝360°﹣（360°﹣m°）﹣m°＝．

【解析】
(1)如图①，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，

∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，

又∵∠BED＝100°，

∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣100°＝260°，

又∵BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，

∴∠PBE+∠PDE＝(∠ABE+∠CDE)＝×260°＝130°，

∴∠P＝360°﹣130°﹣100°＝130°；

(2)3∠P+∠BED＝360°；

如图②，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，

∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，

∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，

又∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，

∴∠PBE+∠PDE＝(∠ABE+∠CDE)＝×(360°﹣∠BED)＝240°﹣∠BED，

∴∠P＝360°﹣∠BED﹣(240°﹣∠BED)＝120°﹣∠BED，

即3∠P+∠BED＝360°；

(3)∠P＝．

如图③，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

同理可得，∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣m°，

又∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，

∴∠PBE+∠PDE＝(∠ABE+∠CDE)＝(360°﹣m°)，

∴四边形PDEB中，∠P＝360°﹣(360°﹣m°)﹣m°＝．