Question

如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．

（1）求证：四边形BCDE为菱形；

（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）AC=；

【解析】

（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；
（2）只要证明△ACD是直角三角形，∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；

（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，

∴DE=BC，

∵AD∥BC，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵∠ABD=90°，AE=DE，

∴BE=DE，

∴四边形BCDE是菱形．

（2）连接AC，如图所示：

∵∠ADB=30°，∠ABD=90°，

∴AD=2AB，

∵AD=2BC，

∴AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠BCA，

∴∠CAB=∠CAD=30°

∴AB=BC=DC=1，AD=2BC=2，

∵∠DAC=30°，∠ADC=60°，

在Rt△ACD中，AC=．